Sistem Digital dan Gelombang

Nama   : Dzaki Alif Mahroja

NIM     : 2303015090

Kelas    : 2-D

Pembahasan : Teorema DeMorgan’s

 

Teorema DeMorgan adalah salah satu teorema dalam logika matematika yang menyatakan bahwa negasi dari konjungsi (AND) dari dua proposisi sama dengan disjungsi (OR) dari negasi dari masing-masing proposisi, dan negasi dari disjungsi (OR) dari dua proposisi sama dengan konjungsi (AND) dari negasi dari masing-masing proposisi. Dalam notasi matematika, teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)

¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)

Di sini, p dan q mewakili proposisi-proposisi yang bisa bernilai benar (true) atau salah (false), dan simbol ¬, ∧, dan ∨ masing-masing merepresentasikan negasi (not), konjungsi (and), dan disjungsi (or).

Teorema DeMorgan adalah salah satu konsep utama dalam logika matematika yang memungkinkan kita untuk mengubah bentuk dari pernyataan-pernyataan logika. Teorema ini dinamakan setelah matematikawan Inggris abad ke-19, Augustus De Morgan, yang pertama kali merumuskannya.

• Negasi dari Konjungsi (AND): 
  Teorema DeMorgan menyatakan bahwa negasi dari konjungsi (AND) dari dua proposisi adalah disjungsi (OR) dari negasi masing-masing proposisi. Ini berarti jika kita memiliki dua pernyataan, misalnya A dan B, maka negasi dari A dan B adalah sama dengan negasi dari A atau negasi dari B. Secara simbolis, jika kita menyatakan A dan B sebagai proposisi, maka teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)
• Negasi dari Disjungsi (OR): 
  Teorema DeMorgan juga menyatakan bahwa negasi dari disjungsi (OR) dari dua proposisi adalah konjungsi (AND) dari negasi masing-masing proposisi. Ini berarti jika kita memiliki dua pernyataan, misalnya A atau B, maka negasi dari A atau B adalah sama dengan negasi dari A dan negasi dari B. Secara simbolis, jika kita menyatakan A dan B sebagai proposisi, maka teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
  ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)

Teorema DeMorgan sangat penting dalam logika matematika karena memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi logika yang kompleks, membuatnya lebih mudah dipahami dan dianalisis. Dengan menggunakan teorema ini, kita dapat mengubah antara bentuk konjungsi dan disjungsi, serta mempermudah dalam pembuktian dan penalaran logika.

 

Analisis Boolean Rangkaian Logika pada Teorema DeMorgan’s

Analisis Boolean pada rangkaian logika menggunakan Teorema DeMorgan membantu dalam menyederhanakan ekspresi logika dan merancang rangkaian yang lebih efisien. Teorema DeMorgan memungkinkan untuk mengubah antara bentuk konjungsi dan disjungsi, yang merupakan elemen penting dalam analisis Boolean.

Misalkan kita memiliki sebuah rangkaian logika dengan gerbang-gerbang logika yang dihubungkan bersama. Dalam analisis Boolean, kita dapat menggunakan Teorema DeMorgan untuk menyederhanakan rangkaian tersebut.

Misalnya, jika kita memiliki rangkaian yang mengandung gerbang-gerbang AND dan OR, kita bisa menerapkan Teorema DeMorgan untuk menyederhanakan rangkaian tersebut dengan mengubah antara bentuk konjungsi dan disjungsi.

Contoh:

Misalkan kita memiliki rangkaian logika sebagai berikut:
Input A dan B dihubungkan ke gerbang AND.
Output dari gerbang AND dihubungkan ke gerbang OR bersamaan dengan input C.

Kita dapat menyederhanakan rangkaian ini menggunakan Teorema DeMorgan sebagai berikut:

• Dari input A dan B ke gerbang AND:
  Bentuk aslinya: A ∧ B
  Menggunakan Teorema DeMorgan:
   ¬(¬A ∨ ¬B)
• Output dari gerbang AND ke gerbang OR bersamaan dengan input C:
  Bentuk aslinya: (A ∧ B) ∨ C
  Menggunakan Teorema DeMorgan:
  ¬(¬(¬A ∨ ¬B) ∧ ¬C)

Dengan menggunakan Teorema DeMorgan, kita dapat menyederhanakan ekspresi logika dalam rangkaian tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana dan efisien. Hal ini dapat membantu dalam perancangan rangkaian yang lebih optimal dan memahami perilaku logika dari rangkaian tersebut dengan lebih baik.

 

Dalam analisis Boolean rangkaian logika menggunakan Teorema DeMorgan's, langkah-langkah berikut dapat diikuti:

Langkah 1: Identifikasi gerbang-gerbang logika dalam rangkaian dan ekspresi logika yang mereka wakili.
Langkah 2: Terapkan Teorema DeMorgan's untuk menyederhanakan ekspresi logika. Ubah konjungsi menjadi disjungsi, atau sebaliknya, sesuai dengan aturan teorema.
Langkah 3: Evaluasi ekspresi logika yang disederhanakan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana.

 

Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran digunakan untuk menunjukkan nilai kebenaran dari ekspresi logika sebelum dan setelah penyederhanaan menggunakan Teorema DeMorgan's.

A	B	C	Ekspresi Awal	Ekspresi Disederhanakan
0	0	0	𝐴∧𝐵∧𝐶	¬(¬𝐴∨¬𝐵∨¬𝐶
0	0	1	𝐴∧𝐵∧𝐶	¬(¬𝐴∨¬𝐵∨𝐶
0	1	0	𝐴∧𝐵∧𝐶	¬(¬𝐴∨𝐵∨¬𝐶
0	1	1	𝐴∧𝐵∧𝐶	¬(¬𝐴∨𝐵∨𝐶
1	0	0	𝐴∧𝐵∧𝐶	¬(𝐴∨¬𝐵∨¬𝐶
1	0	1	𝐴∧𝐵∧𝐶	¬(𝐴∨¬𝐵∨𝐶
1	1	0	𝐴∧𝐵∧𝐶	¬(𝐴∨𝐵∨¬𝐶)
1	1	1	𝐴∧𝐵∧𝐶	¬(𝐴∨𝐵∨𝐶)

 

Penyederhanaan menggunakan Aljabar Boolean
Dengan menggunakan Teorema DeMorgan's dan prinsip-prinsip Aljabar Boolean, ekspresi logika dalam rangkaian dapat disederhanakan menjadi bentuk yang lebih ringkas dan efisien, membantu dalam perancangan dan analisis sistem digital.

Dengan menggunakan pendekatan ini, kita dapat memahami perilaku rangkaian logika dengan lebih baik dan merancang sistem digital yang lebih efisien dan andal.

Sumber: https://onlinelearning.uhamka.ac.id/